Correction complète et détaillée — Exercice 22

Énoncé

\[ I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^{2n+1} x} \]

1) Détermination de \(a\) et \(b\)

\[ \frac{1}{\cos x} = \frac{a\cos x}{1-\sin x} + \frac{b\cos x}{1+\sin x} \]

Transformation

\[ \frac{\cos x}{1-\sin x} = \frac{\cos x(1+\sin x)}{1-\sin^2 x} = \frac{\cos x(1+\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1+\sin x}{\cos x} \]

\[ \frac{\cos x}{1+\sin x} = \frac{1-\sin x}{\cos x} \]

Substitution

\[ \frac{a(1+\sin x)}{\cos x} + \frac{b(1-\sin x)}{\cos x} = \frac{(a+b)+(a-b)\sin x}{\cos x} \]

Identification

\[ a+b=1 \] \[ a-b=0 \]

Résolution

\[ a=b \] \[ 2a=1 \] \[ a=b=\frac12 \]

\[ \boxed{a=b=\frac12} \]

2) Calcul de \(I_0\)

\[ I_0=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec x \, dx \]

\[ \int \sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x| \]

\[ I_0= \left[ \ln(\sec x+\tan x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \]

Évaluation

\[ \sec\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2 \quad \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 \]

\[ I_0=\ln(\sqrt2+1)-\ln(1) \] \[ \boxed{I_0=\ln(1+\sqrt2)} \]

3) Relation de récurrence

\[ I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2n+1}x \, dx \]

Intégration par parties

\[ u=\sec^{2n-1}x \quad dv=\sec^2x\,dx \]

\[ du=(2n-1)\sec^{2n-1}x\tan x\,dx \quad v=\tan x \]

\[ I_n= \left[ \sec^{2n-1}x\tan x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} - (2n-1) \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2n-1}x\tan^2x\,dx \]

Simplification

\[ \tan^2x=\sec^2x-1 \]

\[ I_n= B - (2n-1)(I_n-I_{n-1}) \]

Calcul du terme aux bornes

\[ \sec\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2 \]

\[ \sec^{2n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right) =(\sqrt2)^{2n-1} =2^{n-\frac12} =\frac{2^n}{\sqrt2} \]

Donc :

\[ B=\frac{2^n}{\sqrt2} \]

Regroupement final

\[ 2nI_n= (2n-1)I_{n-1} + \frac{2^n}{\sqrt2} \]

\[ \boxed{ 2nI_n=(2n-1)I_{n-1}+\frac{2^n}{\sqrt2} } \]

Résumé Final

\[ a=b=\frac12 \] \[ I_0=\ln(1+\sqrt2) \] \[ 2nI_n=(2n-1)I_{n-1}+\frac{2^n}{\sqrt2} \]

🔹 Que signifie sec ?

Très bonne question 👍

sec x est l’abréviation de sécante de x.

Par définition :

\[ \boxed{\sec x = \frac{1}{\cos x}} \]

Donc dans ton exercice :

\[ \frac{1}{\cos^{2n+1} x} = \sec^{2n+1} x \]

🔹 Pourquoi on l’utilise ?

Parce que :

écrire sec x est plus simple que écrire \( \frac{1}{\cos x} \)
certaines formules d’intégration sont connues directement avec sec

Par exemple :

\[ \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \]

🔹 Si tu préfères sans "sec"

On peut tout écrire uniquement avec cos :

\[ I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^{2n+1} x} \]

C’est exactement la même chose.

Remarque pédagogique : En Terminale TSE, on peut parfaitement travailler uniquement avec \( \cos \) et \( \tan \). L’utilisation de sec est simplement une écriture plus compacte.

🔹 Rappel : primitive de \( \frac{1}{\cos x} \)

🔹 Formule de base

On cherche la primitive de :

\[ \frac{1}{\cos x} \]

Comme :

\[ \frac{1}{\cos x} = \sec x \]

✅Formule à connaître

\[ \int \frac{1}{\cos x} \, dx = \ln \left| \frac{1+\sin x}{\cos x} \right| + C \]

🔹 Forme équivalente (souvent utilisée)

On peut aussi écrire :

\[ \int \frac{1}{\cos x} \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \]

🔍 Pourquoi ces deux formes sont équivalentes ?

Parce que :

\[ \sec x + \tan x = \frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1+\sin x}{\cos x} \]

Donc :

\[ \ln|\sec x + \tan x| = \ln \left| \frac{1+\sin x}{\cos x} \right| \]

Conclusion : Les deux expressions sont strictement identiques. On choisit simplement la forme la plus pratique.

Voici la section prête à intégrer dans ton modèle (avec séparateurs et icônes en **code décimal HTML**, pas en emoji direct) : ```html

🔹 Dérivée de \( \dfrac{1}{\cos^{2n-1} x} \)

On veut la dérivée de :

\[ \frac{1}{\cos^{2n-1} x} \]

🔹 Étape 1 : Réécriture

On écrit :

\[ \frac{1}{\cos^{2n-1} x} = (\cos x)^{-(2n-1)} \]

🔹 Étape 2 : Dérivation (règle de la puissance + chaîne)

On utilise :

\[ \frac{d}{dx}(u^m)=m\,u^{m-1}\,u' \]

Ici :

\( u=\cos x \)
\( u'=-\sin x \)
\( m=-(2n-1) \)

🔹 Étape 3 : Calcul

\[ \frac{d}{dx}(\cos x)^{-(2n-1)} = -(2n-1)(\cos x)^{-(2n-1)-1}(-\sin x) \]

Les deux signes moins se simplifient :

\[ (2n-1)\sin x\,(\cos x)^{-2n} \]

🔹 Étape 4 : Mise sous forme plus propre

\[ (\cos x)^{-2n} = \frac{1}{\cos^{2n}x} \]

Donc :

\[ \boxed{ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos^{2n-1} x}\right) = (2n-1)\frac{\sin x}{\cos^{2n}x} } \]

🔹 Forme encore plus utile pour l’intégration par parties

Comme :

\[ \frac{\sin x}{\cos x}=\tan x \]

On peut écrire :

\[ \boxed{ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos^{2n-1} x}\right) = (2n-1)\frac{\tan x}{\cos^{2n-1}x} } \]

👉 C’est exactement cette forme qu’on utilise quand on pose :

\[ u=\frac{1}{\cos^{2n-1}x} \quad \text{et} \quad dv=\frac{1}{\cos^2 x}\,dx \]

Si tu veux, je peux refaire l’intégration par parties complète avec cette écriture.

🔹 D’où viennent \( I_n \) et \( I_{n-1} \) ?

On veut expliquer clairement l’origine de :

\[ I_n = B - (2n-1)(I_n - I_{n-1}) \]

🔹 1) Rappel de la définition

On a défini :

\[ I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^{2n+1}x} \]

Comme \( \dfrac{1}{\cos x}=\sec x \), on peut écrire :

\[ I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2n+1}x \, dx \]

🔹 2) Après l’intégration par parties

On obtient :

\[ I_n= \left[\sec^{2n-1}x\,\tan x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - (2n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2n-1}x\,\tan^2 x\,dx \]

On note le terme entre crochets :

\[ B=\left[\sec^{2n-1}x\,\tan x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \]

🔹 3) Le point clé : remplacer \( \tan^2 x \)

On utilise l’identité trigonométrique :

\[ \tan^2 x=\sec^2 x-1 \]

Donc :

\[ \sec^{2n-1}x\,\tan^2 x = \sec^{2n-1}x(\sec^2 x-1) \]

On développe :

\[ = \sec^{2n+1}x-\sec^{2n-1}x \]

🔹 4) Apparition de \( I_n \) et \( I_{n-1} \)

On remplace dans l’intégrale :

\[ \int \sec^{2n-1}x\,\tan^2 x\,dx = \int \sec^{2n+1}x\,dx - \int \sec^{2n-1}x\,dx \]

Or, par définition :

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec^{2n+1}x\,dx=I_n \]

Et :

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec^{2n-1}x\,dx=I_{n-1} \]

Pourquoi ?

\[ 2(n-1)+1=2n-1 \]

L’exposant correspond exactement à l’indice \( n-1 \).

🔹 5) Conclusion

On obtient :

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2n-1}x\,\tan^2 x\,dx = I_n-I_{n-1} \]

Donc :

\[ \boxed{ I_n = B - (2n-1)(I_n-I_{n-1}) } \]

🎯 Résumé simple

\( I_n \) vient de \( \int \sec^{2n+1}x\,dx \)
\( I_{n-1} \) vient de \( \int \sec^{2n-1}x\,dx \)
Ils apparaissent après avoir remplacé \( \tan^2 x \) par \( \sec^2 x-1 \)